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階值,(數)量級

order of magnitude

苟淵博
2002年12月
力學名詞辭典

名詞解釋:  是一種用來簡化微分方程,使其成為可積分式的常用方法。因為此法是就方程式中各項之因次式比較其階值的大小,省略去凡是階值比較小的項目,故又稱作因式辨階法。茲舉亂流壁流層因次辨階之一例,說明此法如下:   物體的光滑邊界之黏性非滑脫作用,對於通過其上之亂流,產生黏性牽制作用,至少改變了邊界流層中亂流結構或運動性質。然而此項影響的厚度與主流平均流之空間相比較,實在是十分的狹薄。因而在作積分處理前,可以運用近似的因次辨階法,直接推演分析出此薄層中之運動性質,進而簡化出實際有效的運動方程式。其概念是假設主流是一似定態(quasisteady)的平均流。對於平面邊界上壁流層,茲選定卡式座標軸,使平面上平均流速 與x軸重合。引入長度L1及L2分別表示x及y向的兩個公尺度,因為壁流層十分狹薄,則可得下式:      再引入u1及u2分別表示平均流速 之流速尺度,而此兩尺度並非無關。因x,y兩向上流速方向及大小並非獨立,故依連續方程式:      u1,u2需滿足以下條件:      對於Reynold's應力 亦可選定適當尺度。邊界附近之亂流中,雖然受到邊界對亂流之動亂有抑制作用,因而使邊界上動亂失卻了等向性,然而由經驗知,各方向上亂流之強度 仍屬同階。因此可引入一個動亂尺度θ適應u',v'及w'如是有:      Rij間的相關值,比值大小表示點上成域中動亂之強度,此處假設僅取平面邊界y向非壓縮流體之亂流平均運動方程式為例,作因次辨階討論如下:      1.由最後兩項之黏性項看之,當壁流層中Y向上Reynolds數R=u1L2/v係隨y向距離L2而增加時,若以方程式等號左邊之階值1為度,則在外層中,此兩v項可除之,因為,雖與左邊之階值1相同,但若與其前兩項之亂流動亂項之階,L1/L2與(L1/L2)2和其本身之階 比較之則屬太小。所以v項之作用在壁流層之外層中可忽略之。   2.有趣的是R之下限為1時,在流體力學中乃純屬黏性作用之流性,此時末項要與左邊式同階值時,則末向L1/L2應為1,即L1=L2,表示很薄。此項意義即示在光滑邊界的亂流壁層之最內層,有一個重要的極微薄的黏性內層附著在光滑邊界上,稱為黏性底層(viscous sublayer)。   所以在亂流壁流層中,經上1,2之因次辨階,y向平均運動方程已清楚的示意:在壁流層中會有一黏性底層的存在,其內之亂流剪力微弱可予忽略。   3.在黏底層外的地方,R增,L1/L2隨R之增而增,將y向方程式中保留(L1/L2)2最高項,則有:      將 代入x向運動方程式,原式之第四項及第四項及第六項因階值小皆予除之,則得出邊界層中X-向有效的運動方程式。   故因次辨階法,除可就因次式之辨階分析外,可使吾人清楚的明瞭流動的性質,並可就辨(比)階,知道有一些次要或不重要的項目可予略除,簡化了方程式使之更切題,並可作積分處理。此法廣用於邊界層之運動方程式及能量方程式之分析研究上,以及許多自由亂流之分析中等,為一重要的剖析簡化程序。

階值,(數)量級

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