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名詞解釋:

　　奇異值分解（singular value decomposition，簡稱SVD）是矩陣分解的一種。假設A是一m´n維的實數矩陣（real matrix），A的奇異值分解具有以下形式：

A = USVT （或UTAV = S）

Eq. （1）

　　其中U和V分別為一m´m維與一n´n維的正交矩陣（orthogonal matrix），具有U^TU = I_m，以及V^TV = I_n的特性。S是一主對角線元素皆由A的奇異值s₁, s₂, ..., s_p所組成的m´n維對角矩陣（diagonal matrix），表示成S_m´n = diag（s₁, s₂, ..., s_p）。p = min（m, n），且s₁ ³ s₂ ³ ... ³ s_p ³ 0。

若且唯若矩陣A的秩值（rank）等於r，即rank（A） = r，矩陣S的主對角線元素值滿足下列條件：

s1 ³ s2 ³ ... ³ sr > sr+1 = ... = sp = 0

Eq. （2）

　　由此可進一步將A視為r個矩陣相加之和，如下所示：

A = USVT= s1u1v1T + s2u2v2T + ... + srurvrT

Eq. （3）

　　對於A的奇異值s_i來說，U的行向量u_i稱為A的左奇異向量（left singular vector），而V的行向量v_i則稱之為A的右奇異向量（right singular vector）。

　　奇異值分解通常用來求線性方程式Ax = b的最小平方近似解，使得||A− b||₂有最小值。在圖書資訊學的領域當中，奇異值分解是隱含語意索引（latent semantic indexing，簡稱LSI）的核心，結合維度約化（dimension reduction），可刪除原始資料中的雜訊，達到資料平滑化（data smoothing）以及隱性語意關聯模型建構的目的。