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關係

Relation

劉貴傑
2000年12月
教育大辭書

名詞解釋:  關係是一種聯繫,也是兩種或多種事物聚合在一起的屬性。確切的說,關係是某一存有對另一存有的狀態。希臘哲學家亞里斯多德(Aristotle, 384~322 B.C.)所著〔工具論〕(Organon)一書即把關係列為八類或十類範疇(Category)之一,例如:雙重、兩層。關係也是十八世紀德國哲學家康德(Immanuel Kant, 1724~1804)的四大範疇之一,其中包括:實體性、因果性、相互性;也是十九世紀德國哲學家黑格爾(Georg Wilhelm Friedrich Hegel, 1770~1831)所著〔邏輯科學〕(Wissenschaft der Logik)一書中〔本質論〕(Lehre vom Wesen)部分的範疇。黑格爾認為現象世界是一個整體,這樣就有了整體和部分之間的關係。產生、包括和保持著部分的整體是「力」,而部分便是「力」的表現。於是,整體和部分的關係便發展到更高形式──「力」及其表現的關係。為了發展到「本質」階段的終點--現實,這關係進一步轉化為內和外的關係,而現實便是內和外的統一。「本質」在此情況下,形成全體部分、內部與外部之間的「本質性關係」。黑格爾認為一切事物都存在於關係中,每一事物都不是抽象的、孤立的,總在一個他物之內,而關係就是自身聯繫與他物聯繫的統一。   關係的種類繁多,最常見的是二元或二目關係。這類關係的邏輯性質已經獲得廣泛研究。因為許多論證,特別是數學論證的有效性往往取決於這類關係的性質。例如a>b,b>c,所以a>c,其重要性質如下(R表示二目關係):   傳遞性:關係R是傳遞的,有、且唯有Rab並且Rbc,則Rac。例如:「高於」是傳遞的,因為如果a高於b,且b高於c,則a高於c。   對稱性:關係R是對稱的,有、且唯有Rah,則Rba。「一樣長」是對稱的,因為如果a和b一樣長,則b和a也一樣長。   非對稱性:關係R是非對稱的,有、且唯有Rab,則非Rba。例如:「a是b的父親」是非對稱的,因為如果a是b的父親,則b就不是a的父親。   反對稱性:關係R是反對稱的,有、且唯有Rab並且Rba,則a和b同一。例如:「是不小於……的數」是反對稱的,因為如果a是不小於b的數,且b是不小於a的數,則a和b必定是同一個數。   自返性:關係R是自返的,有、且唯有對任何對象a,Raa。既然任何對象與自身一樣重,「一樣重」便是自返的。   非自返性:關係R是非自返的,有、且唯有對任何對象a,Raa不真。既然沒有對象重於自身,「重於」便是非自返的。   連通性:關係R在對象類C上是連通的,有、且唯有a和b屬於c而a和b各異,則或者Rah或者Rha。例如:「小於」在自然數上是連通的,因為對任何兩個數a和b,如果a≠b,則或者a小於b或者b小於a。   借助以上特徵,可以界定兩種重要的關係:有、且唯有R是自返的、傳遞的和對稱的,則R是等價關係(Equivalence Relation);有、且唯有R是自返的、傳遞的和反對的,則R是偏序關係。

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