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數理邏輯

Mathematical Logic

楊龍立
2000年12月
教育大辭書

名詞解釋:  數理邏輯可視為數學的邏輯分析,但通常與符號邏輯(Symbolic Logic)之涵義相同,所以數理邏輯指的是人用符號來進行邏輯演算和分析。目前數理邏輯分為廣義及狹義兩種:狹義的數理邏輯專指邏輯的演算,包含命題演算及述詞演算(Propositional and Predicate Calculi);廣義的則包含數學的集合論、證明論及其他相關的系統。由於數理邏輯比照代數般運用符號,因此相當形式化,其有效性往往與應用的內容無關。   亞里斯多德(Aristotle, 384~322 B.C.)在〔工具論〕(Organon)一書中曾提及邏輯演繹推理,十七世紀萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646~1716)亦曾處理了一些邏輯方面的問題,但數理邏輯之發展到十九世紀才有重大的突破。摩根(A. de Morgan, 1806~1871)提出「關係邏輯」觀念,提供了人們一種新的思考方向,布爾(George Boole, 1815~1864)為代數家,將邏輯置於數學系統 內,並建立了邏輯演算的雛型。弗列格(G. Frege, 1848~1925)在前兩人的基礎上繼續努力,並建立了一個邏輯演算體系,使邏輯的形式化有了進一步的發展。集合論方面,坎托(Georg Cantor, 1845~1918)反對亞里斯多德對「無限」與「連續」的看法,並提出了新的集合論觀點。然而在十九世紀末,人們已發現了弔詭論(Paradox)的存在,加以坎托的集合論受到布勞威(L.E.J. Brouwer, 1881~1966)的批評,由此導出二十世紀初期數學的危機,人們反省數學的基礎為何,並發展出三種解決的思想:直覺主義、形式主義及邏輯主義。   皮亞諾(Giuseppe Peano, 1858~1932)繼弗列格之後,在數學演繹上努力於數學語言之精確,並列出一些定理、公理。一九一○至一九一三年間懷德海(Alfred North Whitehead, 1861~1947)與羅素(Bertrand Russell, 1872~1970)出版了〔數學原理〕(Principia Mathematica),於書中二人從邏輯的演算中導出數學並以符號來表示推理過程,此種見解反映了邏輯主義觀點。布勞威爾及其後續者持直覺主義,強調數學歸納法及直覺的建構。希爾伯(D. Hilbert, 1862~1943),為防止弔詭論及邏輯矛盾的出現,提出證明一致性的「希爾伯方案」(Hilbert program)或證明論,主張完全形式化公理系統之一致性可加以證明。然而哥德爾(Kurt Gödel,1906~1978)於一九三○年提出了「不完全性理論」(Incompleteness Theorems),認為希爾伯追求的系統是一致時,該系統即為不完全之系統,並且含有古典數論之系統的一致性無法於系統中加以證明。今日數理邏輯也與語言學、資訊科學密切聯繫,並不侷限於數學與邏輯領域。

數理邏輯

Mathematical Logic

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